Dualsystem division, Zahlensysteme und einige Rechenregeln im Binärsystem

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Suchen Zahlensysteme und Rechnen im Dualsystem Zahlensysteme haben einen bestimmten Vorrat an Nennwerten aus denen sich alle Zahlen bilden lassen.

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  • Entwicklung des Dualsystems[ Bearbeiten Quelltext bearbeiten ] Der alt-indische Mathematiker Pingala stellte die erste bekannte Beschreibung eines Zahlensystems bestehend aus zwei Zeichen im 3.
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Zu jedem Nennwert einer einzelnen Ziffer gehört noch ein Stellenwert. Unsere heutigen Zahlensysteme sind Stellenwertsysteme. Das römische Zahlensystem zählt nicht dazu.

Dieses Kapitel befasst sich mit dem Übergang vom Dezimal- zum Dualsystem. Es beschreibt die Addition im Dualsystem und dort auch die Möglichkeit mit negativen Zahlen durch Komplemente zu arbeiten.

Beispiel 1111 : 101

Zum Ende gibt es einen kurzen Einblick in das Hexadezimalsystem sowie die gegenseitige Umwandlung in das Dezimal- und Dualsystem. Dezimalsystem Dualsystem division Ziffern Der Nennwert 3 an der ersten oder Einerstelle einer Dezimalzahl steht für den Zahlenwert 3. An der zweiten oder Zehnerstelle steht dieser Nennwert für den Zahlenwert Im Dezimalsystem errechnen sich die Stellenwerte aus der Basis 10 mit dem Stellenwert als Exponenten.

Der Zahlenwert errechnet sich aus der Summe aller Teilnennwerte, die mit ihrem jeweiligen Stellenwert zu multiplizieren sind. Im Binär- oder Dualzahlsystem kommen daher nur die Nennwerte 0 und 1 vor. Die Stellenwerte ergeben sich aus der Basis 2 mit dem Stellenwert als Exponent geschrieben. An jeder Stelle kann der Nennwert 0 oder 1 stehen. Jede Binärzahl lässt sich in ihre Dezimalzahl umrechnen. Dazu wird der binäre Nennwert dualsystem division seinem Bund future multipliziert und die Summe aller Teilwerte gebildet.

Mit der Indexziffer wird die eindeutige Zuordnung einer Zahl zum verwendeten Zahlensystem angegeben.

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Im dargestellten Beispiel wird die Dualzahl mit dem Index 2 in ihre Dualsystem division mit dem Index 10 umgerechnet.

Als Anwender und Programmierer sind wir eher mit dem Dezimalsystem vertraut. An der Schnittstelle Mensch — Digitalprozessor besorgen automatisch ablaufende Hintergrundprogramme diese Anpassung. Kann die Differenz gebildet werden, so wird diesem Stellenwert eine 1 zugeordnet.

Dualsystem – Wikipedia

Der Vorgang wiederholt sich bis zur niedrigsten Zweierpotenz. Ein anderes Umwandlungsverfahren entspricht einer wiederholten Ganzzahldivision durch die Basiszahl 2. Mit dem ModuloVerfahren wird die Restzahl, die nur 0 oder 1 sein kann, notiert. Das ganzzahlige Divisionsergebnis ist die neue Zahl.

Für die gesuchte Dualsystem division werden die Restziffern von unten nach oben ausgelesenen und von links nach dualsystem division notiert. Umwandeln von Nachkommastellen bei Dezimalzahlen Die Zweierpotenzreihe der Dualzahlen setzt sich nach dem Komma mit negativen zunehmenden Exponenten fort.

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Wenn man sie ausrechnet und die letzte Bitstelle der Nachkommareihe als Hauptnenner nimmt, erscheinen im Zähler von links nach rechts abnehmend die gleichen Zweierexponenten wie vor dem Komma. Die Nachkommazahl wird mit der Basis 2 multipliziert. Vom Ergebnis wird die Vorkommastelle als Übertrag notiert und die neue Nachkommazahl wieder mit der Basis 2 multipliziert. Beim Schreiben der Dualzahl werden nach der Kommastelle die Überträge von oben nach unten gelesen und von links nach rechts geschrieben.

Die Umwandlung dezimaler Nachkommazahlen ind die Dualzahl kann auch mithilfe der Subtraktionsmethode erfolgen. Es wird durch die erste negative Zweierpotenz Dualsystem division dividiert. Dualsystem division die Division bei zu kleinem Dividenden nicht möglich, wird eine 0 notiert und die Division mit der folgenden negativen Zweierpotenz fortgesetzt.

Bei erfolgreicher Division wird eine 1 notiert und ein verbleibender Rest vom Dividenden subtrahiert. Die Division wird mit der folgenden niedrigeren Zweierpotenz fortgesetzt. Das Divisionsverfahren endet spätestens beim Erreichen dualsystem division festgelegten Bit-Tiefe.

Dualsystem

Die Zahlen werden untereinander geschrieben und spaltenweise addiert. Überschreitet das Additionsergebnis bei einer festgelegten Bit-Tiefe den Wertebereich der darstellbaren Dualzahlen, so kann der Übertrag an der höchsten Stelle nicht gespeichert werden.

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Es dualsystem division ein falsches Ergebnis angezeigt. Ist der Darstellbereich auf 4 Bit begrenzt und man addiert 1, gelangt man zu binärda das 5. Bit als Übertrag nicht angezeigt werden kann. Die 4-Bit Datenworte lassen sich im Zahlenkreis darstellen. Halbiert man den Kreis so, dass an der höchsten Bitstelle immer eine 0 oder eine 1 steht, dann kann das MSB als Vorzeichenbit definiert dualsystem division. Die dezimale 0 ist der Menge der positiven ganzen Zahlen zugeordnet, sodass der Zahlenkreis 8 positive und 8 negative ganze Zahlen umfasst.

Addiert man zu einer positiven ganzen Zahl ihren negativen Wert, dann ist das Ergebnis 0. Das sollte auch in der Binärdarstellung so sein.

Um vom positiven Bitmuster einer Zahl zum negativen Bitmuster der gleichen Zahl zu gelangen, muss man alle Bits invertieren und 1 Bit addieren. Im Einerkomplement sind diese Bitstellen invertiert.

Ist das Datenwort länger als zur Codierung notwendig, werden in der Einerkomplementschreibweise nicht genutzte Stellen bei positiven Zahlen mit vorangestellten Nullen aufgefüllt. Bei negativen Zahlen werden die nicht genutzten Dualsystem division mit führenden Einsen aufgefüllt.

Die dezimale 0 hat einen positiven und negativen Binärwert und ist so für einen mathematischen Vergleich oder dem Prüfen auf 0 nicht geeignet. Die Subtraktion im Dualsystem durch Addition der Einerkomplemente liefert nur dann ein korrektes Ergebnis, solange der Übertrag nicht über dualsystem division höchste Bit-Zahl hinausgeht.

Zweierkomplement Bei der Codierung negativer Dezimalzahlen wird der absolute Zahlenwert codiert. Alle Bitstellen werden negiert invertiert und zum Ergebnis der Wert 1 addiert.

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Die Inversion ergibt das Einerkomplement, das durch die Addition von binär 1 dann zum Zweierkomplement wird. Das MSB zeigt das Vorzeichen an. Der Wert null ist einer positiven Zahl zugeordnet und hat im Zweierkomplement keine Doppeldarstellung mehr.

Dualsystem division die Addition von binär 1 zum Einerkomplement entstehtwobei der Übertrag mit einem 4-Bit Datenwort nicht angezeigt werden kann. Der Wertebereich einer n-Bit langen Zahl im Zweierkomplement ist daher nicht mehr symmetrisch.

Wird das MSB als Vorzeichenbit definiert, dualsystem division sich der codierbare Zahlenbereich eines n-Bit langen Datenworts und man kann positive und negative Zahlen darstellen. Im Dualsystem stellen die Einerkomplemente das gegenteilige Bitmuster einer gegebenen Dualzahl dar.

Jedes Bit der Dualzahl ist in seinem Komplement invertiert. Mit der Addition von binär 1 zum Einerkomplement erhält man das Zweierkomplement, mit dem dann die Subtraktion als Addition ausgeführt werden dualsystem division.

Wird die Subtraktion auf eine Addition zurückgeführt, ist von der abzuziehenden Zahl, dem Subtrahenden das Komplement zu bilden. Das Komplement einer dualsystem division Zahl ist der Ergänzungswert zur Basis.

Soll von dezimal 7 die 7 dualsystem division werden, kann durch Addition des Zehnerkomplements das gleiche Ergebnis wie bei der direkten Subtraktion erhalten werden, da bei einstelliger Darstellung der entstehende Übertrag nicht angezeigt werden kann. Im Dualsystem ist 2 die Basis, folglich wird anstelle der Subtraktion das Zweierkomplement des Subtrahenden addiert. Dualsystem division über die festgelegte Bit-Breite hinausgehender Übertrag wird verworfen und nicht gespeichert.

Das Zweierkomplement einer dualsystem dualsystem division Dualzahl ergibt den Absolutwert der Zahl.

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Das Ergebnis und die entsprechende Dezimalzahl sind negativ. Der Absolutwert kann erst ermittelt werden, wenn von der Dualzahl nochmals das Zweierkomplement gebildet wird. Die Bitbreite bestimmte dabei den darstellbaren Wertebereich muss beachtet werden, da ein Stellenübertrag an der höchsten Stelle nicht ausgewertet werden kann.

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In einer einfachen Multiplikation mit Zweierpotenzen ist das Linksshift-Verfahren gut erkennbar. Die zu multiplizierende Dualzahl wird um die Anzahl der Stellen nach links verschoben, an der eine 1 im Multiplikator steht. Ist der Multiplikator eine beliebige Dualzahl, muss dualsystem division Linksshift-Verfahren nacheinander mit jedem Dualsystem division, wo eine 1 steht erfolgen.

Im Dualsystem ist die Division durch Zweierpotenzen als Umkehrung der Multiplikation durch die Rechtsverschiebung der Bitfolge durchführbar. Dieses Rechtsshift-Verfahren ist auf Zweierpotenzen beschränkt.

Eine Rundung findet nicht statt. Nach rechts aus dem Bitmuster fallende Stellen werden verworfen.

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Das Verfahren zur Division durch eine beliebige Dualzahl ist vergleichbar mit der schriftlichen Dualsystem division im Dezimalsystem. Die Subtraktion der Zwischenergebnisse erfolgt nach dem weiter oben beschriebenen Verfahren mit Zweierkomplementen.

Ein bleibender Divisionsrest wird nicht berücksichtigt dualsystem ubungen wie oben abgeschnitten. Der Buchstabe A steht für dezimal 10 und F für dezimal Die Stellenwerte ergeben sich mit der Potenzreihe zur Dualsystem division Die Umrechnung in das Dezimalsystem erfolgt wie dualsystem division den Dualzahlen beschrieben mit der entsprechenden Potenzreihe.

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Die Dezimalzahlen der Hexadezimalwerte werden mit dualsystem division Stellenfaktor multipliziert und alle Teilergebnisse zum dezimalen Ergebnis addiert. Umwandlung vom Dezimal- ins Hexadezimalsystem In Analogie zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen kann eine Dezimalzahl in ihre Hexadezimalschreibweise durch fortgesetzte Dualsystem division durch die Basiszahl 16 und Notieren der jeweiligen Reste erfolgen. Die Hexadezimalzeichenfolge wird aus den Resten von unten nach oben ausgelesen und von links nach rechts geschrieben.

Sie werden als Nibble bezeichnet, die sich einfach in ihren Dezimalwert umrechnen lassen. Aus dem dezimalen Zwischenergebnis kann ebenso leicht die Hexadezimalzeichenfolge geschrieben werden.

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